Що таке ірраціональні числа?

Що таке ірраціональні числа?
Раціональне число число, що представляється звичайної дробом m / n, де чисельник m ціле число, а знаменник n натуральне число. Будь-яке раціональне число представимо у вигляді періодичної нескінченної десяткового дробу. Безліч раціональних чисел позначається Q. Якщо дійсне число не є раціональним, то воно
ірраціональне число. Десяткові дроби, що виражають ірраціональні числа нескінченні і не періодичні.

Безліч ірраціональних чисел зазвичай позначається великою латинською літерою I. Дійсне число називається алгебраїчним, якщо воно є коренем деякого многочлена (ненульовий ступеня) з раціональними коефіцієнтами. Будь-яке неалгебраїчні число називається
трансцендентним.

Безліч раціональних чисел розташовується на числовій осі всюди щільно: між будь-якими двома різними раціональними числами розташоване хоча б одне раціональне число (а значить, і нескінченна безліч раціональних чисел).
Проте, виявляється, що безліч раціональних чисел Q і безліч натуральних чисел N еквівалентні, тобто між ними можна встановити взаємно однозначну відповідність (всі елементи множини раціональних чисел можна перенумерувати). Безліч Q раціональних чисел є замкнутим щодо додавання, віднімання, множення і ділення, тобто сума, різниця, твір і приватне двох раціональних чисел також є раціональними числами. Всі раціональні числа є алгебраїчними (зворотне твердження невірне).

Кожне речовий трансцендентне число є ірраціональним.
Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним, або трансцендентним.

Безліч ірраціональних чисел всюди щільно на числовій прямій: між будь-якими двома числами мається ірраціональне число (а значить, і нескінченна безліч ірраціональних чисел). Безліч ірраціональних чисел незліченно. (Де a, b раціональні числа, з ціле, яка не є квадратом натурального числа) розглянути поєднане з ним число ab
: Його сума і твір з вихідним раціональні числа. Так що a + b
є корінням квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами.

1. Доведіть, що
є ірраціональним. 2. Відомо, що числа
a, b,
раціональні. Доведіть, що
теж раціональні числа.
3. Доведіть, що існують позитивні ірраціональні числа a і b, для яких число a
є натуральним. 4. Чи існують раціональні числа
a, b, c, d,
де n натуральне число?

5. Якщо відрізки з довжинами a, b, c утворюють трикутник, то для всіх
= 2, 3, 4,. відрізки з довжинами,
так само утворюють трикутник. Доведіть це. 6. Доведіть, що нескінченна десяткова дріб 0, +1234567891011121314.

(Після коми поспіль виписані всі натуральні числа по порядку) являє собою ірраціональне число. 7. Дана нескінченна десяткова дріб 0, a. Доведіть, що цифри в її десяткового запису можна переставити так, щоб отримана дріб висловлювала раціональне число.

8. Довести, що в кожній нескінченної десяткового дробу існує послідовність десяткових знаків довільної довжини, яка в розкладанні дробу зустрічається нескінченно багато разів. 9. Доведіть елементарним шляхом, що позитивний корінь рівняння
є ірраціональним. 10. а) Чи існують на площині три такі точки A, B і C, що для будь-якої точки X довжина хоча б одного з відрізків XA, XB і XC ірраціональна? б) Координати вершин трикутника раціональні.
Доведіть, що координати центру його описаного кола також раціональні. в) Чи існує така сфера, на якій є рівно одна раціональна точка? (Раціональна точка точка, у якої всі три декартові координати — раціональні числа.)
1. Доведіть, що число
є ірраціональним.

2. За яких цілих m та n виконується рівність (5 + 3? 3. Чи існує таке число а, щоб числа а
були цілими? 4. Чи можуть числа 1, 4 бути членами (не обов’язково сусідніми) арифметичній прогресії? 5.
Доведіть, що при будь-якому натуральному n рівняння (х + у
не має рішень в раціональних числах (х; у).

Що таке ірраціональні числа?

Сподобалася стаття? Поділися нею з друзями!




Добавить комментарий